4.5.1 回归项-平均绝对误差（MAE [Mean Absolute Error]）

迭代公式：

\begin{aligned} Loss = \frac{1}{N} \sum_{i = 1}^{N}|y_i-prediction_i| \\ \end{aligned}

图像：

特性：

契合拉普拉斯分布（Laplace distribution）样本
通过样本投影平面的距离向量绝对值，来衡量预测结果
导数为常数，梯度迭代线形
非光滑（non-smooth）
线性处理便于计算

MAE 也被称为 L-1 损失（ $L_1$ Loss）。虽然 MAE 常用于机器学习，但它既不是唯一实用的损失函数，也不是适用于所有情形的最佳损失函数。MAE 以样本分布满足拉普拉斯分布的情况为假设，因此对于样本分布满足拉普拉斯分布的样本集，会有更好的效果。MAE 的梯度变换是刚性的，但也因此不容易受到离群值的影响。相应的，MAE 的收敛速度也会更慢一些。

MAE 算子化

利用 C 语言实现对算子的封装，有：

#include <math.h>
#include <stdio.h>

double mae(double *y_true, double *y_pred, int size) {
  double sum = 0;
  for (int i = 0; i < size; i++) {
    sum += fabs(y_true[i] - y_pred[i]);
  }
  return sum / size;
}

int main() {
  int size = 3;
  double y_true[] = {0.5, 0.75, 1.0};
  double y_pred[] = {0.6, 0.8, 0.9};
  double mae_value = mae(y_true, y_pred, size);
  printf("The MAE is %f\n", mae_value);
  return 0;
}

运行验证可得到结果：

The MAE is 0.100000

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MAE 算子化

利用 C 语言实现对算子的封装，有：

#include <math.h>
#include <stdio.h>

double mae(double *y_true, double *y_pred, int size) {
  double sum = 0;
  for (int i = 0; i < size; i++) {
    sum += fabs(y_true[i] - y_pred[i]);
  }
  return sum / size;
}

int main() {
  int size = 3;
  double y_true[] = {0.5, 0.75, 1.0};
  double y_pred[] = {0.6, 0.8, 0.9};
  double mae_value = mae(y_true, y_pred, size);
  printf("The MAE is %f\n", mae_value);
  return 0;
}

运行验证可得到结果：

The MAE is 0.100000