1.4.1 乐理：音调（Notes） & 五度圈（Circle of Fifths）

在声音三要素开始的部分，我们已经简单介绍了一些乐理基础概念。而乐理对声音的描述，都是基于 音调（Note） 为出发点的。通过音调指向基音，建立主观参考系下的客观不变量，从而构造统一的联系。结合 系统的 记录方式，完成对一定时间段下，音乐的保存。

所以，乐谱（Musical Notation） 就是一种，以手动编排抄录的方式，进行声音持续化存储的早期人工手段。而 乐理音调（Music Note），以下我们简称为 音调（Note），就是一种粗粒度（相对于数字时代编码调制而言）的固定采样。

依旧采用 八度音（Octave）的音阶体系，首先需要建立乐理（艺术）心理（感观）转换。

音调（Notes）的 音程尺度描述（ISN [Interval Scale Name]）

这个我们已经介绍过。 八度音阶（Octave） 以钢琴音级为 4 时为准，包括音名、半音在内，共有 12 个，即 C、C♯/D♭、D、D♯/E♭、E、F、F♯/G♭、G、G♯/A♭、A、A♯/B♭、B 。为方便说明，我们补充下一级的 C5 到表中，有：

C	C♯ D♭	D	D♯ E♭	E	F	F♯ G♭	G	G♯ A♭	A	A♯ B♭	B	C5
261.63 (0)	277.18 (+1)	293.66 (+2)	311.13 (+3)	329.63 (+4)	349.23 (+5)	369.99 (+6)	392.00 (+7)	415.30 (+8)	440.00 (+9)	466.16 (+10)	493.88 (+11)	523.25 (+12)

明明是 八度音，却有包扩 C5 在内的 13 个音调。尺度不一太尴尬了，怎么办呢？

音乐艺术先贤们也遇到了同样的问题。于是，根据 两两相邻音调间的音程（Interval），在同音级下，有了不同的 音程尺度描述（ISN [Interval Scale Name]）。正好作为转换起点。

在 C4 所在第 4 音级取 ISN。所有音调与 C4 相比音程为：

Notes	Frequency（Sequence）	Interval Scale Name	Interval as Notes
C4	261.63 (0)	纯一度（P1 [Perfect Unison]）	0
C♯/D♭	277.18 (+1)	小二度（m2 [Minor Second]）	0.5
D	293.66 (+2)	大二度（M2 [Major Second]）	1
D♯/E♭	311.13 (+3)	小三度（m3 [Minor Third]）	1.5
E	329.63 (+4)	大三度（M3 [Major Third]）	2
F	349.23 (+5)	纯四度（P4 [Perfect Fourth]）	2.5
F♯/G♭	369.99 (+6)	增四度（A4）/减五度（d5）	3
G	392.00 (+7)	纯五度（P5 [Perfect Fifth]）	3.5
G♯/A♭	415.30 (+8)	小六度（m6 [Minor Sixth]）	4
A	440.00 (+9)	大六度（M6 [Major Sixth]）	4.5
A♯/B♭	466.16 (+10)	小七度（m7 [Minor Seventh]）	5
B	493.88 (+11)	大七度（M7 [Major Seventh]）	5.5
C5	523.25 (+12)	纯八度（P8 [Perfect Octave]）	6

表内抽象的音程名中，出现了一些 非精确量词（Inaccurate Quantifiers） 被使用其中。确切的来说，基础量词有五种，由小到大分别是（注意简写时的 大小写区分 ）：

减（d [Diminished]） 小（m [Minor]）、纯（P [Perfect]）、大（M [Major]） 增（A [Augmented]）

上述量词怎么来的呢？直接意义上，这是两套体系。一套基于 相对音程，一套基于 绝对音程。简单来说，取整数 $k \in \mathbb{Z}$ 表示通用数字级。则

绝对音程（n.AI [Absolute Interval]），采用 减（d [Diminished]） 、 增（A [Augmented]），是取用第 4 级的纯一度（P1）就是 C4 261.63 Hz 作为原点。记原点音调音序为 $n_{ori}$ ，目标音调音序为 $n_{tag}$ ，有：

• 减 k 度（dk [Diminished k]），意味着 $\Delta n = n_{tag} - n_{ori} = 2(k - 2)$ ；

• 增 k 度（Ak [Augmented k]），意味着 $\Delta n = n_{tag} - n_{ori}= 2(k - 0.5)$ ；

相对音程（n.RI [Relative Interval]），采用 小（m [Minor]） 、 纯（P [Perfect]） 、 大（M [Major]），是一种差值概念。记被比较的音调音序为 $n_{com}$ ，而目标音调音序为 $n_{tag}$ ，有：

• 小 k 度（mk [Minor k]），指 $\Delta n = ({n_{tag} - n_{com}})\%12 \in \{1,\ 3,\ 8,\ 10 \}$ 时对应 $k\in \{2,\ 3,\ 6,\ 7 \}$ ；

• 纯 k 度（Pk [Perfect k]），指 $\Delta n = ({n_{tag} - n_{com}})\%12 \in \{0,\ 5,\ 7,\ 12 \}$ 时对应 $k\in \{1,\ 4,\ 5,\ 8 \}$ ；

• 大 k 度（Mk [Major k]），指 $\Delta n = ({n_{tag} - n_{com}})\%12 \in \{2,\ 4,\ 9,\ 11 \}$ 时对应 $k\in \{2,\ 3,\ 6,\ 7 \}$ ；

而在 所有音调与 C4 相比的音程表 中，之所以出现了 F♯/G♭ 用绝对音程（Absolute Interval）与 A440 440 Hz 相比，其它采用相对音程（Relative Interval）与 C4 261.63 Hz 相比的原因，正是在 $\Delta n = n_{tag} - n_{com} = 6$ 时，用相对音程的 小（m）、纯（P）、大（M） 无法描述 该音程。所以，不得已 才借用了绝对音程的 增（A）、减（d） 描述法。

现在，我们已知同音级下的音程表示了。不过实际使用中，往往会出现两个参与计算的音调是跨级的情况。虽然两方法都适用于跨越多音级（跨级）的音程计算，但 绝对音程（n.AI）和 相对音程（n.RI）在对此的表达上，还是存在较大差异的。

绝对音程（n.AI）的 跨级计算

绝对音程（n.AI） 因为存在原点而且不区分范围，因此可以在单一方向上持续增，或持续减。不过因为往低频方向持续运动，会可能有负值。

所以，除 $\Delta n = 6$ 情况外，我们一般只用它来像高频方向计数。而这种处理使得以 n.AI 公式计算出来是多少 k ，就应该称为增减多少 k 度（AK/dK）。

例如，

• 从 D4->C6 的音序差 $\Delta n = 24 - 2 = 2 \times 11 \rightarrow k=13$ ，为 减十三度（d13） ；

• 从 D4->F6 的音序差 $\Delta n = 29 - 2 = 2 \times 13.5 \rightarrow k=14$ ，为 增十四度（A14） ；

• 从 C4->F6♯/G6♭ 的音序差 $\Delta n = 30 - 0 = 2 \times 15 \rightarrow k=17$ ，为 减十七度（d17） ；

相对音程（n.RI）的 跨级计算

相对音程（n.RI） 的跨级计算就要麻烦一些。这个麻烦主要体现在相对音程的音程尺度描述（ISN）在带上 $\Delta n = 6$ 从绝对音程中借用的 增四度（A4）/减五度（d5）后，也仅有 13 个。

所以，在跨级描述上，相对音程情况需要引入其它的量词用以记录级数差。一个简单的方法就是 在公式基础上，根据跨越的级数，在称为中增加 级数 x 七度 的大小。

例如，

• 从 D4->C6 的音序差 $\Delta n = (24 - 2)\%12 = 10 \rightarrow k= 7 \left(+ 7 \times 1 \right)$ ，为 小十四度（m14） ；

• 从 D4->F6 的音序差 $\Delta n = (29 - 2)\%12 = 3 \rightarrow k= 3 \left(+ 7 \times 2 \right)$ ，为 小十七度（m17） ；

但当 $\Delta n = 6m, \ m \in \mathbb{Z}$ 时， 借用 的 增四度（A4）/减五度（d5） 又不能 换回绝对音程来重新计算，该怎么办呢？

相对音程针对这种情况，引入了 倍数（Multiples）来辅助标记。即 m倍增/m倍减。

例如，

• 从 C4->F6♯/G6♭的音序差 $\Delta n = (30 - 0)\%12 = 6 \rightarrow A4/d5 \left(\times 2 \right)$ ，有 $m = 2$ 的值，称为 二倍增四度（AAA4）/二倍减五度（ddd5）。即多出来的倍数 $m = 2$ ，就代表着需要 多写 几个 增（A）或 减（d）。

至此，结合 $\Delta n = 6$ 时的倍数描述 和 “±7” 度法，我们就能够从乐理（艺术）上形容跨多音级（Steps）的相对音程了。

不过，这样的算法要求我们知道当前音调的音序。但因为一般情况下，乐谱中采用的都是确认 大/小调 主音（Keytone） 后，对包含音调距离主音音程的符号化记录。所以， 必须要能获取主音的音序才能相对计算出，乐谱中的实际乐符的音程，进而推得音序和标的频率。

大/小调（Major Scale/Minor Scale）

什么是大/小调？大/小调（Major Scale/Minor Scale） 是古典音乐中，对一组参与演奏音调韵律的总结。不同 大/小调所采用的音调是不同的。 这里有相当多的乐理（艺术）细分，为了便于说明，除非特别声明，否则都认为 未指明类型的 大/小调 皆属于 自然音阶（Diatonic Scale）。

其中 大/小调 中的 大/小，虽同名于 相对音程 的 大/小，但两者却 并不是一个概念。大/小调 对大/小 的定义，并不是指音程差，而是指组成 大/小调 的自然音阶（Diatonic Scale）中 包含的一系列古典音调（Classical Tone）。

例如，C 大调（Major C）的主音（Keytone）就是 C4 261.63 Hz 。但总共包含：

$$C4 \rightarrow D4 \rightarrow E4 \rightarrow F4 \rightarrow G4 \rightarrow A4 \rightarrow B4$$

所以，如果直接算。 从乐谱到我们可以使用的音程尺度名称间，还需要进行一次大/小调到实际音调组间的转换。

之后，才能够利用相对音程公式，完成快速反向计算来得到换算音序值。再用得到的音序值，查询基音频率。

因此，必须要依赖于 快速确定 大/小调 的手段。该手段就是 五度圈查询法。

五度圈（Circle of Fifths）查寻法

回到音乐（艺术）史早期，人们制定了诸如：古典五律、十二平均律等非精确度量衡。而在 十二平均律（12-TET [12-Tone Equal Temperament]） 中，将属于自然音阶（Diatonic Scale）的自然大调（Major Scale）第 4 音级 C–D–E–F–G–A–B 取为标准（此处取现代声学标准，明朝皇族世子朱载堉发明时，近代物理才刚起步，还未有机械波概念，所以仍是依赖于古筝琴律），而对 C-B（12-TET 采用的实际是 等效到同间隔的 C-F ） 间音调进行了 比例分割。

此举启发了人们对古典五律的划分，从而有了 自然大调（Major Scale），即 C大调， 的五度圈（Circle of Fifths）查寻法。这是一种将上文 12 音调以圆圈的形式串联的表示方式。当然，人们创造出该方法的时候，是凭借着历史经验总结而来的。不得令人感叹其中的智慧。

有速查图如下：

图 1-11 五度圈音调表示意图 [9]

此即为最早且被应用至今（如吉他等）的快速跨级查表法。

图中，大写字母代表自然大调（Major）， 小写字母代表自然小调（Minor）。 音调（Note）所带的升降号（ $\sharp/\flat$ ），在音乐（艺术）中，被称作 调号（Key Signatures）。

以此为出发点，转换到同音级处理。就有， 同圈层 的音调，相邻两个音调间的音程（Interval），顺时针时差值为 $\Delta n = ({n_{tag} - n_{com}}) = 7 \rightarrow k=5$ 纯五度（P5），逆时针时为 $\Delta n = ({n_{tag} - n_{com}}) = 5 \rightarrow k=4$ 纯四度（P4）。称为 相邻调（Adjacent Key）。

五度圈中位于 同位置内外圈 的大小调，两者间的 主音（Keytone） 音程为 小三度（m3），且 主音调号（Key Signatures）相同。称为关系调（Relative Key）。

当我们从内圈向外查找，有音程：

• a->C（如 A4->C5）有 $\Delta n = (12 - 9)\%12 = 3(+0) \rightarrow k=3$ ，为 小三度（m3） ；

• d->C（如 D4->C5）有 $\Delta n = (12 - 2)\%12 = 10(+0) \rightarrow k=7$ ，为 小七度（m7） ；

• d->E（如 D4->E5）有 $\Delta n = (16 - 2)\%12 = 2 \rightarrow k=2(+1\times7)$ ，为 大九度（M9） ；

所以， 以升/降序来看，五度圈是螺旋上升/下降的。

我们以表中 $C\sharp$ 代表着进入了 更上层高音级，而 $C\flat$ 代表降至 更下层低音级。则跨越三层的升序大调五度圈，就如下所示：

图 1-12 三层五度圈（升调方向）音调表示意图

自然大/小调，均包含 7 个音调。分别是主音前 1 个音调，和包括主音在内的后 6 个音调。在此基础上，结合五度圈的维度特点，只需要以 滑动窗口来标记对应调位，即可速查大小调中的各个音调：

【<前一位>，主音，<后五位>】

例如，

• 查表得 $C$ 大调的基础音调，组成为 $[F,\ C,\ G,\ D,\ A,\ E,\ B]$

• 查表得 $F\sharp$ 大调的基础音调，组成为 $[B,\ F\sharp,\ C\sharp,\ G\sharp,\ D\sharp,\ A\sharp,\ E\sharp]$

• 查表得 $E\flat$ 大调的基础音调，组成为 $[A\flat,\ E\flat,\ B\flat,\ F,\ C,\ G,\ D]$

• 查表得 $C\sharp$ 大调的基础音调，组成为 $[F\sharp,\ C\sharp,\ G\sharp,\ D\sharp,\ A\sharp,\ E\sharp,\ B\sharp ]$

五度图中一圈（不升降），就是音级为 4 时 ISO 16 标准的 A440 八度音阶 C4 子表。

C	C♯ D♭	D	D♯ E♭	E	F	F♯ G♭	G	G♯ A♭	A	A♯ B♭	B	C5
261.63 (0)	277.18 (+1)	293.66 (+2)	311.13 (+3)	329.63 (+4)	349.23 (+5)	369.99 (+6)	392.00 (+7)	415.30 (+8)	440.00 (+9)	466.16 (+10)	493.88 (+11)	523.25 (+12)

而当发生升降时，对于在表中没有对应的额外 $\Delta n$ 个 $\sharp/\flat$ 标志，提升或降低 $\Delta n / 2$ 个音级再次查对应 $4 \pm \tfrac{\Delta n}{2}$ 音级，对应的 音阶频率子表。

例如，

• 对于五度圈更上一层的 $C\sharp \sharp = C5 = 253.25 (+12)$ ，而 $C\sharp \sharp \sharp = D \flat \sharp = C\sharp 5 = 554.37 (+13)$ 。

至此达成，利用音调在乐理上的音程尺度描述（ISN），以两种参考系的关联，利用公式或搜图，来转换到工程音序频率关系了。从而方便我们根据 乐理音调（Musical Note）查询它的 基波（Fundamental）频率。

为何频率在分析中，显得格外重要呢？因为频率是贯穿三种分析视角的唯一量。

ISN 本身在乐理（艺术）上，是人为认为的尺度平均的。不过，乐理上的平均，是否意味着实际频率的平均呢？结合 A440 频率音序公式（FSF）判断可知， 乐理平均并不意味着均匀的频率划分。这和人耳的听感息息相关。

经过近代心理声学对人耳感观的样本统计测定后，了解到其中的一些端倪。

音调（Notes）的 频率比（Frequency Ratio）

我们发现，以 C4 261.63 Hz 为标准，人对与 C4 频率呈现一定特殊比例的音调，会有更好的听感反馈（详见 等响曲线）。而以某些相应比例，按照从低到高的非线性变化，会使人产生 聆听时的平滑感（Smoothly）。根据这样的研究结果，可见古人间接以 非线性频率比 （虽然发明命名法的时候并无测定，而是后续心理声学补测）， 主观确定了音调划分。

仍然采用该音级 4 的例子。有 12 个音调间，距离 C4 基础音调的音程（Interval）和 大致频率比（C4: 当前音调，精确小数点后一位）如下：

C4	C♯ D♭	D	D♯ E♭	E	F	F♯ G♭	G	G♯ A♭	A	A♯ B♭	B	C5
261.63 (0)	277.18 (+1)	293.66 (+2)	311.13 (+3)	329.63 (+4)	349.23 (+5)	369.99 (+6)	392.00 (+7)	415.30 (+8)	440.00 (+9)	466.16 (+10)	493.88 (+11)	523.25 (+12)
0	0.5	1	1.5	2	2.5	3	3.5	4	4.5	5	5.5	6
1:1	16:15	9:8	6:5	5:4	4:3	45:32	3:2	8:5	5:3	16:9	15:8	2:1

那么，这一发现有什么作用呢？

它的作用，体现在 创造新的音色。